彈性測量管的振動特性決定了科氏質(zhì)量流量計的測量精度.以直管科氏質(zhì)量流量計為例,初步分析研究了流體脈動對其測量管振動特性的影響.建立了被測流體脈動時測量管振動的數(shù)學(xué)模型;采用Galerkin法對模型進(jìn)行了處理,將模型轉(zhuǎn)化為受外激勵和參數(shù)激勵聯(lián)合作用的有耦合多自由度振動問題;用多尺度法對其進(jìn)行了分析,給出了脈動流作用下科氏質(zhì)量流量計測量管振動的主要頻率成分,揭示了脈動流作用的機理.所得到的大部分結(jié)論與有關(guān)文獻(xiàn)的實驗結(jié)果吻合.

　　基于科氏(Coriolis)效應(yīng)的諧振式直接質(zhì)量流量計(coriolis mass flowmeter)在許多工業(yè)領(lǐng)域獲得了成功的應(yīng)用,已成為質(zhì)量流量測量的主要方向[1].同時,近年來對科式質(zhì)量流量計的研究也有了快速的發(fā)展.隨著研究的深入,一些以往被認(rèn)為對科式質(zhì)量流量計無影響或影響很小的因素,如流體參數(shù)及其流動狀態(tài)等,已經(jīng)逐步引起人們的重視,其中流體脈動就是這類影響因素之一.1994年以來,G.Vetter和S.Notzon,以及R.Cheesewright等人先后開展了相關(guān)研究[2~6].其中,尤以R.Cheesewright等人的研究較為深入,他們從理論和實驗兩個方面進(jìn)行了研究,指出脈動流將在脈動頻率以及脈動頻率與外激勵頻率的和與差的頻率上誘發(fā)測量管的附加振動成分,并將后者歸于脈動與外激勵的“拍(beating)”效應(yīng).然而,這些研究的結(jié)論并不完全一致,且主要是對實驗現(xiàn)象的直觀認(rèn)識.事實上,由于“拍”是描述兩個頻率相差很小的振動信號合成結(jié)果的概念,而在科式質(zhì)量流量計中流體速度出現(xiàn)于運動微分方程的微分項中,不能與作為非齊次項的外激勵直接疊加.因此,將脈動流的作用機理歸結(jié)于“拍”效應(yīng)是否妥當(dāng)還值得商榷.

　　基于此,本文以直管式科式質(zhì)量流量計為對象,用解析法討論脈動流對測量管的影響,旨在從理論上揭示脈動流對科式質(zhì)量流量計的影響機理和作用結(jié)果.

　　1　脈動流作用下測量管的運動方程

　　對直管式科式質(zhì)量流量計,設(shè)其彈性敏感單元的幾何與物理參數(shù)為:管的長度L,管的流通橫截面積A,管的截面慣性矩I,管材料的彈性模量E,管材料的泊松比μ,單位長度上管和被測流體的質(zhì)量分別為mt,mf.同時做如下假設(shè)和近似:

　　1)忽略剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的影響,將測量管作為Euler-Bernoulli梁處理;

　　2)忽略管的軸向位移,只考慮其橫向位移;

　　3)被測流體充滿測量管,流體具有與測量管相同的位移和轉(zhuǎn)角;

　　4)脈動流的波長遠(yuǎn)大于測量管長度,將被測流體看作沿管長均布但隨時間簡諧變化的介質(zhì),流速為

基于所分析的測量直管,其振動可以描述為

　　考慮dx長度上的微元段,管和流體微元段的受力情況如圖1所示.qτ,qn分別為流體與管壁間單位長度上的切向力和法向力,p為流體壓力,M,Q,T分別為管橫截面上的彎矩、剪力和軸向力.另外,測量管正常工作時處于受迫振動狀態(tài),在測量直管軸向的中點作用有簡諧外激勵F(t),可用δ函數(shù)表示為分布形式:

式中　F0,Ω分別為作用于測量直管上的外激勵力的幅值和頻率.

　　考慮測量管中的一個流體質(zhì)點,可推出流體的速度和加速度矢量分別為

式中　ex,ey分別為x和y方向的單位矢量;“·”和“′”分別表示對時間和空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)(下同).

　　分別對流體及管微元段在x和y方向進(jìn)行受力分析,可建立如下力平衡方程:

　　式(10)即為考慮脈動流時直管式科式質(zhì)量流量計測量管的受迫振動的微分方程.

　　2　測量管振動特性分析

　　對方程(10),用Galerkin方法對其進(jìn)行離散化.取前兩階振形,y(x,t)可表示為

　　式中　φ1(x),φ2(x)分別為與充滿靜止流體的測量管具有相同幾何參數(shù)和邊界條件的直梁的一階和二階無阻尼自由振動振形;q1(t)和q2(t)為相應(yīng)的一階和二階廣義坐標(biāo).

　　根據(jù)梁的振動理論,φ1(x)和φ2(x)具有正交性,即有

式中　ωb1,ωb2分別為式(11)描述的梁對應(yīng)于φ1(x)和φ2(x)的一階和二階固有頻率.

　　將式(11)代入(10),兩端同乘以φs(x),再進(jìn)行[0,L]上的積分.定義符號

　　可見,用Galerkin法按前兩階振形離散化后,脈動流作用下科式質(zhì)量流量計測量管的運動方程轉(zhuǎn)化成了參數(shù)激勵和外激勵聯(lián)合作用下的有耦合的二自由度振動問題.

　　采用多尺度法[7]分析q1(t)和q2(t)的解.按小參數(shù)ε定義不同尺度的時間變量:

　　按多尺度法展開式(15)和(16),并比較等號兩邊ε的同冪次系數(shù),可得ε0階,ε1階和ε2階方程式如下:

　　在考慮脈動流影響下的測量直管的固有頻率ωt1,ωt2可由頻率方程(23)求出:

　　將式(22)代入(20)并以復(fù)指數(shù)形式表示參數(shù)激勵項,整理可知,關(guān)于q11和q21的線性偏微分方程組右端由頻率為Ω,ωt1,ωt2,ωf±ωt1,ωf±ωt2的非齊次項組成.其中,外激勵頻率Ω≈ωt1.根據(jù)多尺度法的原理,右端頻率ωt1,ωt2的各項為久期項,其系數(shù)用于確定式(22)中q10和q20的幅值A(chǔ)1(T1,T2)與A2(T1,T2).所以,按線性系統(tǒng)的疊加原理,q11和q21的解等于固有頻率與ωf±ωt1,ωf±ωt2頻率上的響應(yīng)分量的線性組合.顯然,脈動流使測量管的振動中增加了頻率為ωf±ωt1,ωf±ωt2的附加成分,即產(chǎn)生了文獻(xiàn)[4]所示的“拍”現(xiàn)象.可見,產(chǎn)生“拍”效應(yīng)的原因是:脈動流作為參數(shù)激勵項與外激勵共同施加于測量管,形成了聯(lián)合激勵作用.由于流體速度的脈動為小量,ωf±ωt1,ωf±ωt2與ωt1,ωt2不相等時,相應(yīng)頻率上的附加振動分量的幅值較小;但當(dāng)ωf±ωt1,ωf±ωt2與ωt1或ωt2相等時,就會誘發(fā)測量管的附加共振,使測量管在ωt1或ωt2頻率上的振動幅值明顯增大.

　　再將式(22)和已求出的q11,q21代入(21)可知,關(guān)于q12和q22的線性偏微分方程組的右端由頻率為Ω,ωt1,ωt2,ωf±ωt1,ωf±ωt2及2ωf±ωt1,2ωf±ωt2的非齊次項組成.按上述q11和q21的分析方法可知,q12和q22的解等于ωf±ωt1,ωf±ωt2,2ωf±ωt1,2ωf±ωt2頻率上的附加響應(yīng)分量的線性組合.將q10,q20,q11,q21和q12,q22代入式(18),再根據(jù)式(11)可知,與穩(wěn)態(tài)流相比,脈動流作用下的直管式科式質(zhì)量流量計測量管的振動信號y(x,t)中增加了頻率為ωf±ωt1,ωf±ωt2,2ωf±ωt1,2ωf±ωt2的附加分量.附加分量的幅值主要取決于脈動頻率和脈動系數(shù),其中脈動頻率的影響更大.當(dāng)不產(chǎn)生附加共振時,由于附加分量的幅值較小,因而對科式質(zhì)量流量計測量精度的影響也應(yīng)較小.當(dāng)產(chǎn)生附加共振時,附加分量的幅值較大,這時對測量精度的影響也較明顯.分析可知,能夠引發(fā)ωt2頻率上的附加共振的脈動頻率為

由于閉環(huán)自激系統(tǒng)工作于ωt1上,所以與ωt1同頻的附加共振相當(dāng)于外激勵產(chǎn)生的受迫振動的一部分,會導(dǎo)致閉環(huán)自激系統(tǒng)對外激勵幅值的自動調(diào)節(jié),而且被測質(zhì)量流量與兩個檢測點在ωt1上的相位差成正比[4,5],所以與ωt1同頻的附加共振對測量精度沒有影響,但ωt2上的附加共振則使測量管的振動增加了一個幅值較大的頻率分量,若不進(jìn)行處理,將會導(dǎo)致較大的測量誤差.

　　1)脈動流對科式質(zhì)量流量計測量管的振動有影響,它使測量管中產(chǎn)生了除激勵頻率外的附加振動成分.

　　2)脈動流影響科式質(zhì)量流量計測量管振動特性的機理是脈動產(chǎn)生了參數(shù)激勵作用,相當(dāng)于對測量管施加了頻率為ωf,2ωf的參數(shù)激勵項.參數(shù)激勵與外激勵的共同作用形成了文獻(xiàn)[4]所示的“拍”效應(yīng).

　　3)脈動流對科式質(zhì)量流量計測量精度的影響主要取決于脈動頻率和脈動系數(shù).其中,脈動頻率的影響更大.

　　上述結(jié)論中的1)和3)與R. Cheesewright等人的實驗研究[4,5]及有限元仿真計算結(jié)果[6]相當(dāng)吻合,結(jié)論2)清楚地闡明了脈動流影響科式質(zhì)量流量計測量管的振動的機理.而有關(guān)2ωt2頻率上的脈動流的影響則有待于進(jìn)一步研究.所得結(jié)論對諧振式科式質(zhì)量流量計的進(jìn)一步研究和應(yīng)用具有理論和實際意義.